7 wahrscheinlichkeitsverteilungen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen – Casio fx-9860G Slim Benutzerhandbuch
Seite 350
20070201
6-7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Es gibt eine Vielzahl verschiedenartigster Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unter denen die
wohl bekannteste die Normalverteilung ist, die für statistische und wahrscheinlichkeits-
theoretische Berechnungen verwendet wird. Die Normalverteilung ist eine stetige und symmetri-
sche Verteilung um den Mittelwertparameter
μ
, d.h. bei einer statistischen Datenerhebung
in einer normalverteilten Grundgesamtheit werden Daten in unmittelbarer Umgebung von
μ
häufi ger und weiter links oder rechts von
μ
liegende Zahlenwerte seltener in der Stichprobe
vorkommen. Dabei spielt als zweiter Parameter die Standardabweichung
σ
eine wichtige Rolle.
Die Poission-Verteilung, die geometrische Verteilung und andere diskrete Wahrscheinlich-
keitsverteilungen fi nden ebenfalls häufi g Anwendung bei stochastischen Betrachtungen. Welche
Wahrscheinlichkeitsverteilung als wahrscheinlichkeitstheoretisches Datenmodell zur Anwendung
kommen wird, ist oftmals von der praktischen Fragestellung abhängig.
Ist das wahrscheinlichkeitstheoretische Datenmodell für
X
(die Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Grundgesamtheit
X
oder der Zufallsgröße
X
) bekannt, können Sie z.B. Intervallwahr-
scheinlichkeiten
P(
X
P
[a, b]
)
=
P(
a
≤
X
≤
b
)
,
P(
X
P
(-
∞
, b]
)
=
P(
X
≤
b
)
oder
P(
X
P
[a,
∞
)
)
=
P(
X
≥
a
)
usw. berechnen.
So kann zum Beispiel die Verteilungsfunktion verwendet werden, um den Qualitätsanteil bei
der (Massen-)Produktion eines bestimmten Erzeugnisses zu berechnen, indem ein Qualitäts-
merkmal
X
betrachtet wird. Sobald ein
x
-Intervall (Wertebereich für
X
) als Kriterium vorgegeben
ist, können Sie die Normalverteilungswahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die
betrachtete Produktionskennziffer
X
genau in diesem
x
-Intervall liegen wird. D.h., Sie berechnen
den Prozentsatz dafür, dass ein vorgegebenes Kriterium erfüllt wird.
Andererseits kann z.B. eine unbekannte Ausschußrate
q
als Null-Hypothese (zum Beispiel
q
=
q
o
=10%) in einer dichotomen Grundgesamtheit
Y
angesetzt und dann mithilfe einer
normalverteilten Testgröße
Z
untersucht werden, um zu entscheiden, ob (mit einer gewissen
Irrtumswahrscheinlichkeit
α
) die Null-Hypothese zugunsten einer Alternativhypothese abgelehnt
werden muß.
Weiterhin spielt die Normalverteilung in Form ihrer Umkehrfunktion (Quantile der N(0,1)-
Verteilung) eine wichtige Rolle zur Berechnung der Intervallgrenzen von Vertrauensintervallen
z.B. für den Qualitätsanteil (Erfolgsquote
p
) innerhalb einer dichotomen Grundgesamtheit
Y
.
Mithilfe der Normalverteilungsdichte(-funktion) kann für einen vorgegebenen
x
-Wert die
Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung an der Stelle
x
berechnet werden.
Mithilfe der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung können unkompliziert Intervallwahr-
scheinlichkeiten der Form
P(
X
P
[a, b]
)
=
P(
a
≤
X
≤
b
)
für eine Normalverteilung berechnet
werden. Intervallwahrscheinlichkeiten können als schraffi erte Fläche unter der (Gaußschen)
Glockenkurve grafi sch veranschaulicht werden.
Mithilfe der Umkehrfunktion der (Normal-)Verteilungsfunktion kann schließlich für eine
vorgegebene Intervallwahrscheinlichkeit
γ
=
P(
X
P
(-
∞
,
x
γ ]
)
=
P(
X
≤
x
γ
)
die Intervallgrenze
x
γ (Quantil der Ordnung
γ
) berechnet werden.
Mithilfe der Studentschen
t
-Verteilungsdichte(-funktion) kann für einen vorgegebenen
x
-Wert
die Wahrscheinlichkeitsdichte der
t
-Verteilung an der Stelle
x
berechnet werden.
Mithilfe der Verteilungsfunktion einer Student-Verteilung (
t
-Verteilung) können unkompliziert
Intervallwahrscheinlichkeiten der Form
P(
X
P
[a, b]
)
=
P(
a
≤
X
≤
b
)
für eine
t
-Verteilung
berechnet werden. Als Parameter der
t
-Verteilung sind deren Freiheitsgrade zu beachten.
6-7-1
Wahrscheinlichkeitsverteilungen